مع HILBERT و مبادئ الهندسة الخمس

الرياضيات أم العلوم و أصلها وعالم الرياضيات الحقيقي هو من يعرف كيف يستخرج النتائج من المبادئ  و لكل فرع من الرياضيات مبادئ قليلة وبسيطة تسمي البديهات او المسلمات و هي نظريات استنتجناها من  تحليل منطقي  لعالمنا الملموس .
في هذه التدوينة سنتعرف علي المبادئ الخمسة او المسلمات التي بنيت علي اساسها الهندسة ، لذلك سنقوم في البداية بتعريف بسيط للهندسة و ثم سرد اقسامها و من ثم سنعرض مبادئها الخمسة التي تقوم عليها حسب رأي DAVID HILBERT احد اعظم علماء الرياضيات في القرن العشرين...
الهندسة الرياضية (Geometry) أحد فروع الرياضيات التي تتعامل مع العلاقات 
المكانية (الحيزية)، وما يمكن تشكيله من ارتباط نقاط الفراغ لتعطي ما يدعى بالأشكال 
الهندسية. في البداية كان الرياضيات فرعان فقط : دراسة الأعداد والهندسة، لكن التطورات اللاحقة للرياضيات شهدت نشوء فروع متعددة أهمها الجبر لحقها عملية تداخل الهندسة مع الجبر.[1]

 واما عن اقسامها فتنقسم الي الهندسة الاقليدسية وهي الهندسة التي تبحث في خواص لمكان ذي الأبعاد الثلاثة، والي الهندسة التي تتصور مكاناً هندسياً مختلفاً عن فضاء  إقليدس (كهندسة ريمان) وله عدد غير محدود من الأبعاد، فتسمى بـ الهندسة اللاقليدسية (Géométric non Euclidienne)، وهي أعم من الهندسة الإقليدسية، وأكثر منها تجريداً.

ﻵن لنستمع الي هيلبرت ومقدمة كتابه Foundations of Geometry حيث يقول :

التحقيق التالي هو محاولة جديدة لاختيار لهندسة مجموعة بسيطة وكاملة من المسلمات المستقلة تمكن من اسنتاج  النظريات ذات الطابع الهندسي الأكثر أهمية مع توخي أكبر قدر من الوضوح و ابراز  أهمية مجموعة  المسلمات و الاستنتاجات و التي يمكن الخروج من بها.

ثم يعقب قائلا في البداية دعونا نعتبر ثلاثة أنظمة مختلفة :

• الأشياء المكونة للنظام الأول، وسوف ندعوها نقاط ونرمز لها بالحروف A، B، C،. . . ،
•  وتلك  المكونة للنظام الثاني، وسوف ندعوها خطوط مستقيمة ونرمز لها بالحروف  .a  ،b ، c ،
• وتلك  المكونة للنظام الثالث، وسوف ندعوها المستويات ونرمز لها بالحروف اليونانية α، β، γ،. . . 

تشكل النقاط عناصر الهندسة الخطية، و تشكل النقاط والخطوط المستقيمة عناصرالهندسة المستوية، و تشكل النقاط والخطوط والمستويات، عناصر هندسة الفضاء أو العناصر المكونة للفضاء اﻷقليدي.

اجل بهذه البساطة ، ﻵن ربما نفكر ان هذه النثاط هذه الخطوط و هذه المستويات تربطها علاقات تحدد انظمتها و يمكن يوصفها بكلمات مثل التوازي ، التقاطع ، و اﻷنتماء ....

وهذا التفكير سليم تماما و يمكن القول ان مجموع تلك العلاقات تحكمها مجموعة من المسلمات سنتعرض لها بالتفصيل في تدينات لاحقة

اليوم سنقسم هذه المسلمات الي خمس مجموعات كل من هذه المجموعات تعبر، في حد ذاته، عن بعض الحقائق الأساسية ذات الصلة بحدسنا وبكيفية تطبيقنا لمنطق علي العالم الذي يحيط بنا.
 و هذه المجموعات هي  :

• مسلمات الترابط : هذه المجموعة تأسس لكيفية اتصال  المفاهيم المذكورة أعلاه، اي النقاط، الخطوط المستقيمة،و المستويات.
• مسلمات الترتيب : بديهيات لهذه المجموعة تحدد الفكرة التي تعبر عنها كلمة "بين"، وتجعل من الممكن، على أساس هذه الفكرة، وترتيب سلسلة من النقاط على خط مستقيم، في مستوي، وفي الفضاء.  وتحتم علي نقاط على خط مستقيم ان يكون لها علاقة معينة مع بعضها البعض.
• مسلمة التوازي او مسلمة اقليدس : إدخال هذه المسلمة يبسط إلى حد كبير المبادئ الأساسية للهندسة و هي التي تقول انه من نقطة معينة لا تنتمي لمستقيم معين لا يمكن رسم الا مستقيم واحد موزاي لذلك المستقيم.
• مسلمات التحاكي  : بديهيات لهذه المجموعة تعريف فكرة التحاكي أو الإزاحة.
• مسلمة ارخميدس او مسلمة اﻷتصال.

و سنواصل ان شاء الله في تدوينات لاحقة شرح هذه المسلمات و كيفية ترابطها مع بعضها ومع تعريفات المختلفة  لبناء الهندسة اﻷقليدية التي تحكم عالمنا.