في أستكشاف اﻷعداد اﻷولية : حدسية ريمان و السؤال اﻷبرز في الرياضيات

برنارد ريمان

لك كل انسان منا موهبة خاصة يبدع فيها بحق ! ولديك أنت كذلك عزيزى موهبة بالتأكيد ، ولهذه الموهبة نشوة عظمى تنتابك حين تكون في تستعرض أقصى حالاتك ابداعك ، فكيف شعورك في هذه اللحظة بالضبط ؟ أعنى كيف شعورك وانت تلقى أجمل قصائدك أو أروع كتاباتك ، ذلك الشعور بالضبط هو ما ينتاب عشاق الرياضيات حين يتحدثون عن اﻷعداد اﻷولية !
وانت تقرأ كلمات هذه التدوينة أو ترسل بريد ألكترونيا أو تدخل إلى حسابك فى الفيسبوك أو توتير أو تتلقى مكالمة هاتفيا تستخدم اﻷعداد اﻷولية في كل ذلك !
اﻷعداد اﻷولية هى أساس عالم التشفير الذى يمكننا اليوم من التواصل بكل أمان ، لها الفضل في حماية ثورتنا التكنلوجية هذه وجعلها آمنة ! أهلا بك مرة أخرى في تدوينة عن اﻷعداد اﻷولية ..

تعريف أولى للأعداد الاولية : 

اﻷعداد اﻷولية ببساطة هي كل عدد طبيعي لا يقبل القسمة إلا على نفسه أو الواحد.
اﻷعداد 13 و 17 هي أعداد أولية أمام الأعدد 15 أو 24 فهم أعداد مركبة فالعدد 15=5*3 فهو مكون من جداء العددين اﻷولين 3 و 5 و العدد 24 مكزن من جداء اﻷعداد 3 و 2 : 24=3*2*2*2 .
في الرياضيات كل عدد طبيعي هو إما عدد أولى أو عدد مكون من جداء أعداد اولية ،
تبدأ لائحة اﻷعداد اﻷولية اللانهائية  2 ، 3 ، 5 ، 7 ، 11 ، 13 ، 17 ، 19 ، 23  ، 29 ، 31 ، ......
إن أهمية الاعداد اﻷولية تأتى من كونها اللبنات اﻷساسية التي تبنى بها كل اﻷعداد الطبيعية ، وكل عدد طبيعى إما ان يكون أوليا أو جداء أعداد اولية معا  ، و تماما مثل كون كل  جسم في كوننا الشاسع  يتكون من ذرات العناصر المكونة للجدول الدوري  ، ولائحة اﻷعداد اﻷولية هى الجدول الدوري للرياضيات. اﻷعداد 2 ، 3 ، 5 هي الهيدروجين ، الهيليوم ـ و اللتيوم في مختبر الرياضيات..
والتحكم في هذه اللبن اﻷساسية للصرح الرياضيات العظيمة يسمح لنا بفهم اعمق للهذا الصرح الغامض العظيم.
كيف هي هذه الأعداد ؟ ما شكل توزيعها ؟ هل من علاقة رياضية تمكننا من إيجاد حميع اﻷعداد الأولية أقل من عدد معين ؟ هل من علاقة تعطينا اعداد اولية دائما ..؟ لحد اﻵن تعتبر هذه اﻷسئلة الأكثر صعوبة أمام المعرفة البشرية و تبقي في معظمها دون قدرتنا حتى بعد قرون من الدراسة المتوصلة من طرف اﻵلاف من العلماء و المئات من مراكز البحث عبر العالم.

ريمان و ورقة البحث العلمي : 

في أغشت من عام 1859 م ، و بعيد انتخابه عضو في أكاديمية العلوم ببرلين رغم أن عمره لم يتجاوز 32 عاما ، قدم الشاب الصاعد :  برنارد ريمان ورقة بحثية تحت عنوان "Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse"

مقال برنارد ريمان حول
 عدد الأعداد الأولية الأصغر من عدد ما.

او " حول عدد اﻷعداد اﻷولية اﻷصغر من عدد ما" ،تسائل رايمان في الورقة البحثية عن العدد اﻷجمالي ﻷعداد اﻷولية اﻷصغر من عدد معطي : مثلا كم يوجد من عدد أولى أقل من 10 مثلا ؟ الجواب سيكون 4 أعداد أولية و هذه اﻷعداد هي 2 ، 3 ، 5 ، 7 ..ماذا عن 20 ؟ عن 100 ؟ عن مليون ؟ عن خمسة ملايين ؟ عن مليار ؟
أستعمل ريمان للبحث عن عدد اﻷعداد الأولية اليعض من أكثر القوانين الرياضية تقدما ، و وضع تساؤلا حول صحة حدسية ، سيبقى التسائل اﻷبرز في الرياضيات طوال القرنين القادمين وحتي يومنا هذا ؟
بقى تساؤل رايمان بلا جواب حتى يومنا هذا رغم كل الجهود المبذولة لحله و رغم أن كل كبار علماء الرياضيات حاولوا عبثا حل هذا التساؤل : إثابته او نفيه ، .. لقد قاومت حدسية ريمان جميع الحلول الممكنة لتبقى أكبر استشكال في تاريخ الرياضيات حتى يومنا هذا.

حدسية ريمان : 

فى الرياضيات ، نطلق إسم حدسية على افتراض نعتقد بصحته لكننا لم نستطع أن نثبت صحته كما أنا لا نمتلك دليلا أو مثالا يفنده ، حدسية ريمان تقول :

الجزء الحقيقي من الجذور غير البديهية لدالة زيتا  هو 1/2.

لكن ماهي دالة زيتا ، دالة زيتا هي دالة يمكن تعريف يمكن تعريفها كالتالي :

حيث s هو عدد تخيلي و دالة زيتا لريمان معرفة كامتداد تحليلي للدالة المعرفة بالمتسلسلة السابقة الذكر عندما يكون σ > 1.

و ﻷن هذه الحدسية تحتوي على اﻷعداد التخيلية والسلاسل الا متناهة فانها قد لا تكون في متناول العامة أو من ليست لديه معرفة متقدمة ( المستوي الجامعي ) .

في البحث عن جواب : 

منذ أن وضع ريمان ورقة بحثه العلمي فقد شكلت الى اﻷبد تغيرات هائلة في الرياضيات بسبب تحديها للحل طوال أكثر من قرنين أو يزيد ، أقيمت الندوات و ووضعت الجوائز و عملت اﻷبحاث على اثبات أو رفض هذه الحدسية دون جدوي ..
جتى اﻵن حتى اليوم، لم يخرج برهان على صدق فرضية ريمان. أحد التحديات السبع التي أعلن عنها معهد كليه في وجه العالم منذ عام 2000 مقابل مليون دولار أمريكي لمن يقدم برهاناً على صدق فرضية ريمان التي بقيت أعجوبة عبقرية طيلة 150 عاماً وتعتبر من أعقد المسائل المفتوحة في الرياضيات التي لم تلق حلا حتى الآن.

في مشروع http://zetagrid.net كثر من 5000 متطوع يعملون علي حل هذه المشكلة و بفضل حساباتهم تم التحقق من أول 100 مليار من الأصفار غير بديهية  يكون جزئها الحقيقيي= 1/2. وبالتالي، فإن فرضية ريمان صحيح على الأقل لجميع اﻷعداد ر حيث
| ر | <29،538،618،432.236.  

وقد نظم المعهد الأمريكي للرياضيات ثلاثة مؤتمرات واسعة النطاق (1996، 1998، و 2002)، وحضره باحثون من جميع أنحاء العالم للبحث حول اثبات أو نفى حدسية ريمان دون أن نفضى في النهاية للجواب أكيد.هناك أسطورة الألمانية حول فريدريك بربروسا، إمبراطور الألماني محبوب كان من الذين لقوا حتفهم خلال الحملة الصليبية الثالثة. وتقول الأسطورة أنه لا يزال على قيد الحياة، نائما في كهف في جبال Kyffhauser. و انه لن يستيقظ إلا عند حاجة ألمانيا له.

ديفد هيلبرت
عالم لرياضيات ألماني شهير

شخص ما طرح سؤالا  هلبرت عالم الرياضيات الشهير قائلا ، "لو بعث بربروسا لك ، بعد خمسمائة سنة، ماذا كنت ستطلب منه ؟ " فكان رد هيلبرت : "أود أن أطلب  ، هل نستطيع أن نثبت أو ننفي فرضية ريمان ؟ "'

مراجع : 

جائزة مليون دولار علي حل حدسية ريمان من معهد كلاي للرياضيات 

مسائل الرياضيات المفتوحة بلا حلٍّ

فرضية ريمان