10 في أستكشاف اﻷعداد اﻷولية : حدسية ريمان و السؤال اﻷبرز في الرياضيات

برنارد ريمان

لك كل انسان منا موهبة خاصة يبدع فيها بحق ! ولديك أنت كذلك عزيزى موهبة بالتأكيد ، ولهذه الموهبة نشوة عظمى تنتابك حين تكون في تستعرض أقصى حالاتك ابداعك ، فكيف شعورك في هذه اللحظة بالضبط ؟ أعنى كيف شعورك وانت تلقى أجمل قصائدك أو أروع كتاباتك ، ذلك الشعور بالضبط هو ما ينتاب عشاق الرياضيات حين يتحدثون عن اﻷعداد اﻷولية !
وانت تقرأ كلمات هذه التدوينة أو ترسل بريد ألكترونيا أو تدخل إلى حسابك فى الفيسبوك أو توتير أو تتلقى مكالمة هاتفيا تستخدم اﻷعداد اﻷولية في كل ذلك !
اﻷعداد اﻷولية هى أساس عالم التشفير الذى يمكننا اليوم من التواصل بكل أمان ، لها الفضل في حماية ثورتنا التكنلوجية هذه وجعلها آمنة ! أهلا بك مرة أخرى في تدوينة عن اﻷعداد اﻷولية ..

تعريف أولى للأعداد الاولية : 

اﻷعداد اﻷولية ببساطة هي كل عدد طبيعي لا يقبل القسمة إلا على نفسه أو الواحد.
اﻷعداد 13 و 17 هي أعداد أولية أمام الأعدد 15 أو 24 فهم أعداد مركبة فالعدد 15=5*3 فهو مكون من جداء العددين اﻷولين 3 و 5 و العدد 24 مكزن من جداء اﻷعداد 3 و 2 : 24=3*2*2*2 .
في الرياضيات كل عدد طبيعي هو إما عدد أولى أو عدد مكون من جداء أعداد اولية ،
تبدأ لائحة اﻷعداد اﻷولية اللانهائية  2 ، 3 ، 5 ، 7 ، 11 ، 13 ، 17 ، 19 ، 23  ، 29 ، 31 ، ......
إن أهمية الاعداد اﻷولية تأتى من كونها اللبنات اﻷساسية التي تبنى بها كل اﻷعداد الطبيعية ، وكل عدد طبيعى إما ان يكون أوليا أو جداء أعداد اولية معا  ، و تماما مثل كون كل  جسم في كوننا الشاسع  يتكون من ذرات العناصر المكونة للجدول الدوري  ، ولائحة اﻷعداد اﻷولية هى الجدول الدوري للرياضيات. اﻷعداد 2 ، 3 ، 5 هي الهيدروجين ، الهيليوم ـ و اللتيوم في مختبر الرياضيات..
والتحكم في هذه اللبن اﻷساسية للصرح الرياضيات العظيمة يسمح لنا بفهم اعمق للهذا الصرح الغامض العظيم.
كيف هي هذه الأعداد ؟ ما شكل توزيعها ؟ هل من علاقة رياضية تمكننا من إيجاد حميع اﻷعداد الأولية أقل من عدد معين ؟ هل من علاقة تعطينا اعداد اولية دائما ..؟ لحد اﻵن تعتبر هذه اﻷسئلة الأكثر صعوبة أمام المعرفة البشرية و تبقي في معظمها دون قدرتنا حتى بعد قرون من الدراسة المتوصلة من طرف اﻵلاف من العلماء و المئات من مراكز البحث عبر العالم.

ريمان و ورقة البحث العلمي : 

في أغشت من عام 1859 م ، و بعيد انتخابه عضو في أكاديمية العلوم ببرلين رغم أن عمره لم يتجاوز 32 عاما ، قدم الشاب الصاعد :  برنارد ريمان ورقة بحثية تحت عنوان "Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse"

مقال برنارد ريمان حول
 عدد الأعداد الأولية الأصغر من عدد ما.

او " حول عدد اﻷعداد اﻷولية اﻷصغر من عدد ما" ،تسائل رايمان في الورقة البحثية عن العدد اﻷجمالي ﻷعداد اﻷولية اﻷصغر من عدد معطي : مثلا كم يوجد من عدد أولى أقل من 10 مثلا ؟ الجواب سيكون 4 أعداد أولية و هذه اﻷعداد هي 2 ، 3 ، 5 ، 7 ..ماذا عن 20 ؟ عن 100 ؟ عن مليون ؟ عن خمسة ملايين ؟ عن مليار ؟
أستعمل ريمان للبحث عن عدد اﻷعداد الأولية اليعض من أكثر القوانين الرياضية تقدما ، و وضع تساؤلا حول صحة حدسية ، سيبقى التسائل اﻷبرز في الرياضيات طوال القرنين القادمين وحتي يومنا هذا ؟
بقى تساؤل رايمان بلا جواب حتى يومنا هذا رغم كل الجهود المبذولة لحله و رغم أن كل كبار علماء الرياضيات حاولوا عبثا حل هذا التساؤل : إثابته او نفيه ، .. لقد قاومت حدسية ريمان جميع الحلول الممكنة لتبقى أكبر استشكال في تاريخ الرياضيات حتى يومنا هذا.

حدسية ريمان : 

فى الرياضيات ، نطلق إسم حدسية على افتراض نعتقد بصحته لكننا لم نستطع أن نثبت صحته كما أنا لا نمتلك دليلا أو مثالا يفنده ، حدسية ريمان تقول :

الجزء الحقيقي من الجذور غير البديهية لدالة زيتا  هو 1/2.

لكن ماهي دالة زيتا ، دالة زيتا هي دالة يمكن تعريف يمكن تعريفها كالتالي :

حيث s هو عدد تخيلي و دالة زيتا لريمان معرفة كامتداد تحليلي للدالة المعرفة بالمتسلسلة السابقة الذكر عندما يكون σ > 1.

و ﻷن هذه الحدسية تحتوي على اﻷعداد التخيلية والسلاسل الا متناهة فانها قد لا تكون في متناول العامة أو من ليست لديه معرفة متقدمة ( المستوي الجامعي ) .

في البحث عن جواب : 

منذ أن وضع ريمان ورقة بحثه العلمي فقد شكلت الى اﻷبد تغيرات هائلة في الرياضيات بسبب تحديها للحل طوال أكثر من قرنين أو يزيد ، أقيمت الندوات و ووضعت الجوائز و عملت اﻷبحاث على اثبات أو رفض هذه الحدسية دون جدوي ..
جتى اﻵن حتى اليوم، لم يخرج برهان على صدق فرضية ريمان. أحد التحديات السبع التي أعلن عنها معهد كليه في وجه العالم منذ عام 2000 مقابل مليون دولار أمريكي لمن يقدم برهاناً على صدق فرضية ريمان التي بقيت أعجوبة عبقرية طيلة 150 عاماً وتعتبر من أعقد المسائل المفتوحة في الرياضيات التي لم تلق حلا حتى الآن.

في مشروع http://zetagrid.net كثر من 5000 متطوع يعملون علي حل هذه المشكلة و بفضل حساباتهم تم التحقق من أول 100 مليار من الأصفار غير بديهية  يكون جزئها الحقيقيي= 1/2. وبالتالي، فإن فرضية ريمان صحيح على الأقل لجميع اﻷعداد ر حيث
| ر | <29،538،618،432.236.  

وقد نظم المعهد الأمريكي للرياضيات ثلاثة مؤتمرات واسعة النطاق (1996، 1998، و 2002)، وحضره باحثون من جميع أنحاء العالم للبحث حول اثبات أو نفى حدسية ريمان دون أن نفضى في النهاية للجواب أكيد.هناك أسطورة الألمانية حول فريدريك بربروسا، إمبراطور الألماني محبوب كان من الذين لقوا حتفهم خلال الحملة الصليبية الثالثة. وتقول الأسطورة أنه لا يزال على قيد الحياة، نائما في كهف في جبال Kyffhauser. و انه لن يستيقظ إلا عند حاجة ألمانيا له.

ديفد هيلبرت
عالم لرياضيات ألماني شهير

شخص ما طرح سؤالا  هلبرت عالم الرياضيات الشهير قائلا ، "لو بعث بربروسا لك ، بعد خمسمائة سنة، ماذا كنت ستطلب منه ؟ " فكان رد هيلبرت : "أود أن أطلب  ، هل نستطيع أن نثبت أو ننفي فرضية ريمان ؟ "'

مراجع : 

جائزة مليون دولار علي حل حدسية ريمان من معهد كلاي للرياضيات 

مسائل الرياضيات المفتوحة بلا حلٍّ

فرضية ريمان

تابع القراءة

0 الأعداد الطبيعية ، سنودن و إختراق العالم ..

أهلا بكم في تدوينة هذا اﻷسبوع ...

اﻷعداد الطبيعية :

واحد ، إثنان ، ثلاثة ...
هكذا بدأت الرياضيات ..

النظام العشري الهيرغلوفي
المصدر : ويكيبديا

وهكذا ينبغى أن يبدأ التدوين عنها ، وعلى اﻷرجح هكذا أيضا بدأ معك عزيزى القارئ في مراحل تعليمك فى الصغر.
فإذا كانت هناك فكرة رياضية بمنتهى البساطة و منتهي العالمية فهى فكرة العد..
اﻷول ، الثانى ، الثالث
تستخدم مجموعة اﻷعداد الطبيعية وهو ما نطلقه على اﻷعداد : 1 ، 2 ، 3 ... و هلم جرى ، في العد و الترتيب فتخبرنا بالكمية و الترتيب أيضا..
و نحن متأكدين أنها نشأت مع اﻷنسان منذ وجوده اﻷول على هذه اﻷرض ، في حين تشير اﻵثار إلا أن اﻷنسان كان يستخدم العد منذ 30.000 سنة خلت..
تعبتر اﻷعداد الطبيعية اﻷساس للرياضيات اﻷولية إضافة ﻷشكال ،
 كما تعبر رغم بساطتها ومباشرتها وسهولة التعامل معها في غاية التعقيد و الغموض.. لا شئ في الرياضيات أكثر بساطة أو جمال من العداد الطبيعية و لا شئ أكثر عمقا و لا أغمض لغزا و أصعب من المسائل واﻷسئلة التي تطرح في مجال اﻷعداد الطبيعية.

اﻷعداد الطبيعية و لبوبلد كرونكر

نبدأ مع اﻷعداد بعملية جمعها و الجمع هو إضافة عدد على آخر ، تفاحة وتفاحة يعطينا تفاحتيتن ، فالجمع هو العملية الطبيعية في اﻷعداد الطبيعية ، أعني أن اﻷعداد الطبيعية ولدت لكي تجمع أو جمعت فولد ت ، فالعدد 2 نحصل عليه بإضافة 1 الي نفسه و العدد ثلاثة نحصل عليه بإضافة واحد على إثنين .. إلخ
العملية الثانية هي الضرب و الضرب هو أن جمع العدد اﻷول مع الثاني مقدار العدد الثانى من المرات ، فمثلا 3*5=15 أي ان ثلاث خمس مرات تساوى خمسة  عشر ،
عادة نقتصر في اﻷعداد الطبيعية على هذه العمليات البسيطة لكن مع بزوغ القرن العشرين و توسع الرياضيات و إنتشارها بزع علم جديد و فرع متكامل هو أكثر فروع الرياضيات ألقا و جمالا و حيرة هو ما بات يعرف لاحقا بـ : "نظرية الأعداد"..

اﻷعداد اﻷولية و أختراق العالم:

في البداية دعونا نتعرف على بعض من المفاهيم الرياضية الاولية في عالم اﻷعداد الطبيعية ،

كل بكسل أسود يمثل عدد أولى بينما
 البكسلات البيضاء تمثل اﻷعداد المركبة
المصدر : http://photosecrets.net/

العدد الأولي و العدد المركب : نعني بعدد أولى كل عدد طبيعي لا يقبل القيمة إلا علي نفسه أو 1 ، مثل العدد 7 : لا يقبل القسمة علي اي عدد أصغر منه بإستثناء  العدد 1 ، في حين العدد 15 يقبل لبقسمة على عددين هما 5 و 3 لذلك نقول أن العدد 15 هو عدد مركب في حين أن الأعداد 3 ، 5 ، و 7 هي أعداد أولية..
مبرهنة إقليدس : 
هناك ما لانهاية من اﻷعداد اﻷولية ..

البرهان:
 لنفترض أن اﻷعداد اﻷولية منتهية و لتكن ن1 ، ن2 ، ن3 ، ن4 ... حتي ن_ن لائحة هذه اﻷعداد : اذن العدد ن1*ن2*ن3*ن4*...*ن_ن+1 هو عدد أولى ( ﻷنه لا يقبل القسمة على أي من اﻷعداد السابقة ) غير موجود في هذه اللائحة ، اذن فهناك تناقض و بالتلى فاﻷعداد اﻷولية غير منتهية.

النظرية اﻷساسية للحسابيات : أن اي عدد طبيعي مركب يمكن كتابته علي شكل جداء أعداد أولية بطريقة واحدة . تسمي هذه الكتابة تفكيك العدد إلي جداء اﻷعداد اﻷولية..

وعليه فمجموعة اﻷعداد الطبيعية تتكون من اعداد أولية و أعداد مركبة ( من اﻷعداد الأولية ) ، و لائحةة اﻷعداد اﻷولية تبدأ بـ : 2 ، 3 ، 5، 7، 11 ، 13، 17 ، 19،...
اذن ماذا عن توزيع هذه اﻷعداد ؟ وهل من طريقة للحصول على أعداد اولية ؟ اﻷجابة على هذين السؤالين في غاية التعقيد ، فتوزيع اﻷعداد الأولية يبدو غير منتظم وفي غاية العشوائية هذا للوهلة الأولى ،لكن ..
 لاتوجد أيضا طريقة تحليلة ( علاقة أو دالة مثلا )  للحصول على اﻷعداد الأولية سوي عن طرق اللائحة المتوفرة على الويب..

حسنا ، سأعطيك عددا مركبا واكتبه لى على شكل جداء أولية

اﻷجابة تساوى الملايين .
..
لو أعطيتك مثلا العدد : 24 ستقول 24=3*2*2*2 لكن ماذ لو أعطيتك العدد : 454547814625398754162385421 هل تستطيع ؟
ماذا لو أعطيتك عدد بطول 100 أو 200 رقم ... بالتأكيد لن تستطيع أن تفككه في وقت قصير ،
الطريقة للكلاسكية للتفكيك العدد مثلا 24 غلى جداء اعداد طبيعية ، هو حسابه جذره المربع أول سيكون قريب من 5 و قسمة 24 على جميع اﻷعداد اﻷصغر من هذا العدد ، ..
وبهذه الطريقة لن تستطيع تفكيك أعداد كبيرة في وقت قصير ، ستحتاج للمئات السنين إذا كنت تستخدم طرقا بدائية و للأيام إذا كنت مزود بأحدث التقنيات اليوم... و طرق رياضية أكثر تطور .

خواريزمية RSA ، المصدر : isecur1ty.org

 هذا ما يقوم عليه التشفير في عالمنا اليوم..
اليوم وبشكل واسع يقوم تشفير البيانات عبر الويب علي خوارزمية RSA وهي خوارزمية تقوم علي تفكيك اﻷعداد الطبيعية الكبيرة إلى جداء عواملها اﻷولية ، عن طريق التشفير بإستخدام المفتاح المعلن..
ويعتبر السؤال المطروح لكسر شفيرة RSA سؤال الملايين الذى لا زال اليوم يستعصي على العلماء ﻷعطاء طريقة سريعة وقوية للتفكيك اﻷعداد الطبيعية الكبيرة جدا..
منذ فترة سرب إدوارد سنودن، المتعاقد السابق مع وكالة الأمن القومي أن هذه الوكالة تسعى جاهدة للبناء كمبيوتر كمي للكسر التشفير للخوارزميات المستخدمة للتأمين المراسلات عبر الويب ، إن هذا الكسر اذا أمكن قد يغير إلى الأبد العالم ، ... لكنه يبدو أقرب للمستحيل.

وإلى تدوينة أخرى و المزيد عن اﻷعداد الطبيعية..

مراجع : 

اﻷعداد اﻷولية على ويكيبيديا

عالم التشفير و أساليبه

وكالة اﻷمن القومي و الكمبيوتر الكمى 

كرونكر علي ويكيبديا 

تابع القراءة