عبقرية عالم رياضيات (2)

اﻷعداد المثلثية

كان علماء اﻷغريق القدماء مولعون بالبحث عن العلاقة بين اﻷعداد و الأشكال الهندسية ، لذلك كانوا في بحث دائم عن كيفية الربط بين عدد معين وشكل معين ، وكانت أولي اﻷعداد التي حاولوا تمثيلها بشكل هي اﻷعداد المربعة و  ذلك لبساطة تمثيلها...






وفي نفس اﻷطار اكتشفوا ما صار يعرف باﻷعداد المثلثية و هي اعداد يمكن تشكيل مثلث متساوي الساقين  باستخدامها ،

اﻷعداد المربعة

كان اليونانيون في ذلك الوقت يعبرون عن النقطة بعقدة في الحبل وقد لاحظوا اليونانيون أن اي عدد مثلثي يمكن الحصول عليه باضافة عدد العقد في وتر المثلث السابق زائد عقدة واحدة وبذلك اكتشفوا ان العدد المثلثي  Tn  يمكن  تعريفه بأنها مجموع اﻷعداد الطبيعية اﻷولي :

Tn = 1 + 2 + 3 + · · · + n

ثم اكتشف اليونان باستخدام الشكل 1 ان مجموع 

n 

عدد طبيعي هو العدد n-1 مربع ودون ان أشرح البرهان هنا أريدكم ان تحاولوا ان تكتشفوه بأنفسكم .

الشكل 1 : مجموع حدود متتالبة اﻷعداد الطبيعية الفردية يساوي  العددمل قبل اﻷخير مربع

و منذ ذلك الوقت شكلت اﻷعداد المثلثية ودراستها مجال بحث خصب لعلماء الرياضيات ، وكان السؤال عن مجموع حدود متتالية مقلوب هذه الاعداد سؤال مفتوح ، حتي عام 1672 حين طرح السؤال عالم الرياضيات

 Huygens علي  ليبنز في محاولة لتجربة ذكاء الرياضي الصاعد -   راجع التدوينة السابقة  -  وقد بدأ ليبنز بملاحظة  أن مقلوب أي عدد مثلثي Tn\1 هو الفرق بين مقلوبي عددين طبيعين متوليين مضروب في نصف الوحدة 2\1 .

مقلوب أي عدد مثلثي  هو الفرق بين مقلوبي عددين طبيعين
متتاليين مضروب في نصف الوحدة

افترض ليبنز حينها ان نهاية سلسلة مقلوب اﻷعداد الطبيعية هو 0 - لكن في الوقع فان نهاية المتسلسلة التوافقية (متسلسلة مقلوب اﻷعداد الطبيعية ) هو  

 ما لانهاية .

و بناء علي هذا و اعتبارا للقاعدته التي تقول  " 

أن مجموع الفروق متتالية بين سلسلة أعداد معينة هو الفرق بين العدد اﻷول و العدد اﻷخير من هذه السلسلة " أكد ليينز أن :

و بذلك يكون نهاية مجموع مقولب اﻷعداد المثلثية  هو 2 ، حسب ليبنز لكن حين قدم هذه النتيجة الي عالم الرياضيات Pell اخبره  هذا اﻷخير ان التنيجة خاطئة وأن الصحيح هو ان نهاية هذا المجموع هو 1.

ورغم ذلك تبقي عبقرية لبنيز في كيفية استنتاجه لهذه القاعدة درس ينبغي ان يقدم كل مرة لطلاب و تلامذة الرياضيات لتعليمهم كيفية التفكير بطرق ابداعية ,.... ودمتم بخير.

    

 ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

مراجع : Trinagular Numbers, Frederick Rickey, 1999